Apéndice B: Cálculo diferencial e integral
LÍMITES
Límite finito
Se considera \(f: X \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) con \(X\) una unión de intervalos. El límite de la función \(f\) en un punto \(a\) refiere a qué pasa con los valores de \(f(x)\) para valores de \(x\) muy cercanos a \(a\). Se escribe de la siguiente forma: \[\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) = L\]
Cuando se estudia el límite en \(a\), se busca saber como se comporta la función en puntos cercanos a él, pero no importa específicamente la imagen de la función en \(a\). Esto implica que \(a\) no necesariamente tiene que ser parte del dominio de la función. El límite de una función en un punto \(a\) nos indica el comportamiento de \(f\) cerca de \(a\) sin importar el punto \(a\).
Sea \(L\) el límite de \(f\) en \(a\), pueden darse tres situaciones respecto a la imagen \(f(a)\): 1. Si \(f\) continua en \(a\), entonces \(L = f(a)\). 2. Si \(f\) no es continua en \(a\), entonces \(L\) es el límite pero \(L \neq f(a)\). 3. Si \(f\) no está definida en \(a\), existe el límite \(L\) pero no está definido \(f(a)\).
Proposiciones importantes:
Proposición 1 Si el límite \(\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x)\) existe, es único.
Proposición 2 Sean \(\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) = b\) y \(\lim\limits_{x \rightarrow a} g(x) = c\). Entonces: 1. \(\lim\limits_{x \rightarrow a} (f+g)(x) = b + c\) 2. \(\lim\limits_{x \rightarrow a} (f-g)(x) = b - c\) 3. \(\lim\limits_{x \rightarrow a} (f \cdot g)(x) = b \cdot c\)
Límite infinito
Intuitivamente, se habla de un límite infinito cuando a medida que la función se acerca al punto \(a\), la imagen \(f(a)\) es un valor muy grande. Cuánto más se acerca \(x\) a \(a\), \(f(x)\) es un número cada vez mayor, pero si \(x = a\) la operación es indeterminada (por ejemplo, queda una división entre cero).
También puede ser importante estudiar el límite de la función cuando \(x \rightarrow \pm\infty\) (valores de \(x\) con módulo muy grande, tanto postivos como negativos).
Para ver los distintos casos, se trabajará con un ejemplo.
Ejemplo:
Se define \[f(x) / f(x) = \frac{1}{1-x} \forall x \in \mathbb{\{R\} - 1}.\] ¿Qué pasa con el límite en 1? ¿Y en \(\pm \infty\)?
Solución: A) Para saber el límite de \(x \rightarrow 1\) se divide en dos casos: 1. Por un lado se estudia el límite cuando nos acercamos a 1 por la derecha (con valores mayores a uno, pero cada vez más cercanos).
| \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|
| 1,01 | -100 |
| 1,001 | -1000 |
| 1,0001 | -10000 |
| 1,00001 | -100000 |
Se puede ver que cuánto más cerca está \(x\) de 1, mayor es el módulo de \(f(x)\). Se puede ver también que \(f(x)\) es negativa, por lo que se dice que el límite de \(f(x)\) cuando \(x\) tiende a 1 por derecha es \(-\infty\) y se escribe:
\[\lim\limits_{x \rightarrow 1^{+}} f(x) = -\infty\]
- Al estudiar el límite por izquierda, acercándonos a 1 un valores menores a él, se puede ver que:
| \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|
| 0,9 | 10 |
| 0,99 | 100 |
| 0,999 | 1000 |
| 0,9999 | 10000 |
Cuánto más cerca de uno, mayor es el valor de \(f(x)\) pero con valores positivos por lo que, en este caso:
\[\lim\limits_{x \rightarrow 1^{-}} f(x) = +\infty\]
- Se estudiarán ahora los límites para \(\pm \infty\) separando nuevamente en los dos casos.
- Para el caso \(+\infty\), tomaremos valores de \(x\) muy grandes:
| \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|
| \(1x10^5\) | \(-1x10^{-5}\) |
| \(1x10^{10}\) | \(-1x10^{-10}\) |
| \(1x10^{15}\) | \(-1x10^{-15}\) |
| \(1x10^{20}\) | \(-1x10^{-20}\) |
En este caso, se puede ver que cuánto más grande el valor de \(x\), más pequeño es el valor de \(f(x)\) pero manteniéndose positivo. Decimos entonces que el límite es \(0^{+}\). \[\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = 0^{+}\]
- Realizando la misma tabla que en el caso anterior pero para valores negativos, se obtiene que \(f(x)\) se acerca más a cero cuanto mayor el valor de \(x\), pero en este caso los valores obtenidos son negativos. Se dice que el límite es \(0^{-}\). \[\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x) = 0^{-}\]
Se muestra a continuación la gráfica de la función estudiada. En azul, se muestran las asíntotas \(x=1\) y \(y=0\) que son aquellas rectas que la función nunca corta.
Se puede ver que cuánto más grandes en módulo son los valores de \(x\) más se acerca la función a cero. Si bien el eje \(x\) en esta imagen no llega a valores tan altos, invitamos al lector a verificar esto con su calculadora. Se puede observar lo mismo para \(x=1\), donde se puede observar que la función no llega a cortar la asíntota y toma valores cada vez más grandes.
Proposiciones importantes:
Proposición 3a: Sean \(\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) = +\infty\) y \(\lim\limits_{x \rightarrow a} g(x) = c\). Entonces:
Suma: \[\lim\limits_{x \rightarrow a} (f \cdot g)(x) = +\infty\]
Producto: - Si \(c > 0\), \(\lim\limits_{x \rightarrow a} (f \cdot g)(x) = +\infty\) - Si \(c < 0\), \(\lim\limits_{x \rightarrow a} (f \cdot g)(x) = -\infty\)
Proposición 3b: Sean \(\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) = \infty\) y \(\lim\limits_{x \rightarrow a} g(x) = \infty\). Entonces:
Suma: \[\lim\limits_{x \rightarrow a} (f \cdot g)(x) = \infty\]
Producto: \[\lim\limits_{x \rightarrow a} (f \cdot g)(x) = \infty\]
Proposición 4a: Si \(\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) = \infty \Rightarrow \lim\limits_{x \rightarrow a} \frac{1}{f(x)} = 0\).
Proposición 4b: Si \(\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) = 0 \Rightarrow \lim\limits_{x \rightarrow a} \frac{1}{f(x)} = \infty\).
DERIVADAS
Derivada puntual
La derivada puntual describe con qué rapidez se produce la variación de una función para un determinado punto \(a\). La definición formal de la derivada dice que: \(f\) es derivable en \(a\) si existe el límite \(\lim\limits_{x \rightarrow a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}\). Si existe el límite, \(f'(a)\) es el resultado y se dice que \(f'(a)\) es la derivada de \(f\) en el punto a.
Gráficamente, se puede ver como la pendiente de la gráfica en el punto.
Derivada de una función
A partir de la definición anterior, se puede definir la derivada de una función. Tomando un punto \(x\) en el intervalo \((a,b)\) y \(f\) una función definida, por lo menos, en ese intervalo abierto \((a,b)\), se define la derivada \(f'\) como el límite del cociente de diferencias: \[\lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\]
Este cociente representa la variación media de \(f\) en el intervalo que une a \(x\) y \(x+h\). Este límite define una nueva función llamada primera derivada de \(f\) y, como fue mencionado previamente, se simboliza como \(f'\). Si se deriva \(f'\), obtenemos la segunda derivada de \(f\), \(f''\).
Ejemplo:{-} Se tiene una explotación ganadera que cría vacas para la producción de carne. Para obtener un modelo simple, se considera que la tasa de crecimiento de las vacas depende únicamente de la cantidad de alimento suministrado por día (que será una función de \(x\)).
Se tiene entonces que el crecimiento \(C\) depende de \(x\): \[C(x) = e^{3x} + x^2.\]
Esta ecuación nos dice que el crecimiento queda ligado a la cantidad de alimento mediante una función exponencial más una función polinómica. La tasa de crecimiento se calculará a partir de las derivadas total de la función, obteniendo que \(C'(x) = 3e^{3x} + 2x.\)
Máximos y mínimos locales y absolutos
Tomando la noción de la derivada como la pendiente de la curva en un punto, se puede ver que en aquellos puntos donde la derivada es cero la tangente es horizontal. Esto implica tres posibilidades para ese punto: 1. La función \(f\) tiene un máximo local en ese punto. 2. La función \(f\) tiene un mínimo local en ese punto. 3. La función \(f\) tiene un punto silla, que no es ni máximo ni mínimo de la función.
Un punto \(a\) es un máximo local si para un entorno alrededor, la función toma valores menores a \(f(a)\). Si además \(f(a)\) es el máximo de los máximos, decimos que es un máximo absoluto.
Lo inverso ocurre si en \(a\) hay un mínimo. Existe un entorno alrededor de él para el cual la función toma valores mayores a \(f(a)\). Si además es el mínimo de los mínimos, la función presenta un mínimo absoluto.
En la siguiente imagen se muestra un ejemplo de una función que tiene un máximo relativo, un mínimo relativo y un punto silla. El mínimo relativo se encuentra en \((1,-2)\), el máximo relativo en \((-1,2)\%\) y el punto silla en \((0,0)\). Se puede observar como en los tres casos la tangente al punto es horizontal (derivada nula). Sin embargo, la función toma valores mayores y menores a los del entorno, por lo que no son extremos absolutos.
Para hallar si un punto es mínimo o máximo se puede trabajar con dos métodos:
Método de la derivada primera
Para que un punto sea máximo, los puntos adyacentes a él deben ser menores, a la vez que la pendiente a la izquierda de este será positiva y a la derecha negativa.
Para que un punto sea mínimo, los puntos adyacentes a él deben ser mayores, a la vez que la pendiente a la izquierda de este será negativa y a la derecha positiva.
Establecido esto, el criterio de la primera derivada dice que una vez que se encuentra un punto donde \(f'(a)=0\) se miran las derivadas a la derecha y a su izquierda, concluyendo que: - Si a la izqierda la derivada es positiva y a la derecha negativa, el punto es un máximo. - Si por su parte, a la izquierda del punto la derivada es negativa y a la derecha positiva, el punto es un mínimo.
En el caso que a ambos lados del punto la derivada sea positiva o negativa, no hay ni máximo ni mínimo.
Ejemplo: Sea la función \(f(x) = 4x^2-8x\), su derivada es \(f'(x) = 8x - 8\). Para hallar los candidatos a máximos y mínimos, igualamos a cero y obtenemos que \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1\). Sustituyendo en \(f(x)\) obtenemos la otra coordenada del punto, por lo que pasaremos a estudiar si \((1,-4)\) es un máximo o un mínimo.
Para ver la derivada a los costados de \(x=1\) tomamos un punto a la izquierda (por ejemplo, cero) y otro a la derecha (por ejemplo, dos) y evaluamos el signo de la derivada. - \[f'(0) = -8\] - \[f'(2) = 8\]
Se observa que a la izquierda la derivada es negativa y a la derecha positiva, por lo que el punto \((1,-4)\) es un mínimo.
Método de la derivada segunda Para utilizar el método de la derivada segunda, se calcula la derivada de \(f'(x)\) y se evalúa en \(x\). Si \(f''(x)\) es negativa, en \(x\) hay un máximo. Por el contrario, si \(f''(x)\) es positiva, en \(x\) hay un mínimo.
Ejemplo: Tomando nuevamente la función \(f(x) = 4x^2-8x\), calculamos su derivada primera y derivada segunda: \[f'(x) = 8x - 8 \Rightarrow f''(x) = 8.\] La derivada segunda es la función constante positiva, por lo que en \((1,-4)\) la función \(f(x)\) presenta un mínimo.
Proposiciones importantes
Proposición 1: Álgebra de las derivadas Sean \(f, g: \mathbb{X} \rightarrow \mathbb{R}\) derivables en \(a\). Las funciones \(f+g, \: f-g, \: f \cdot g, \: \frac{f}{g}\) con \(g(a) \neq 0\) son derivables en \(a\) y: 1. \((f+g)'(a) = f'(a) + g'(a)\) 2. \((f-g)'(a) = f'(a) - g'(a)\) 3. \((f \cdot g)'(a) = f'(a)g(a) + g'(a)f(a)\) 4. \((\frac{f}{g})'(a) = \frac{f'(a)g(a) + g'(a)f(a)}{g^2(a)}\)
Ejemplos: 1. Se tiene \(f(x) = x\) y \(g(x) = x^2\), por lo que \((f + g)(x) = x + x^2\). Entonces, la derivada \((f + g)'(x) = 1 + 2x\) donde \(f'(x)=1\) y \(g'(x) = 2x\). 2. Se tiene \(f(x) = e^{x}\) y \(g(x) = 4x\), por lo que \((f - g)(x) = e^{x} - 4x\). Entonces, la derivada \((f - g)'(x) = e^{x} - 4\) donde \(f'(x)=e^{x}\) y \(g'(x) = 4\). 3. Se tiene \(f(x) = e^x\) y \(g(x) = x^2\), por lo que \((f \cdot g)(x) = x^2e^{x}\). Entonces, como \(f'(x) = e^{x}\) y \(g'(x) = 2x\), la derivada \((f \cdot g)'(x) = x^2e^{x} + 2x e^{x}\). 4. Se tiene \(f(x) = log(x)\) y \(g(x) = x^2\), por lo que \((\frac{f}{g})(x) = \frac{e^{x}}{x^2}\). Entonces, como \(f'(x) = \frac{1}{x}\) y \(g'(x) = 2x\), la derivada \((\frac{f}{g})'(x) = \frac{\frac{x^2}{x} - 2x log(x)}{x^4}\) que simplificando queda: \((\frac{f}{g})'(x) = \frac{1 - 2log(x)}{x^3}\).
En todos los casos, para obtener la derivada de cada una de las funciones en el punto \(a\) se evalua en \(x = a\).
Proposición 2: Regla de la cadena Sean \(f: \mathbb{X} \rightarrow \mathbb{R}\) y \(g: \mathbb{Y} \rightarrow \mathbb{R}\). Además, \(a \in X\) y \(b\ in Y\), \(f(a) = b\). Si \(f\) es derivable en \(a\) y \(g\) derivable en \(b\), entonces \((g \circ f)'(a) = g'(f(a)).f'(a)\).
Ejemplo: Sean \(f(x) = 4x^2 - 6x - 5\) y \(g(x) = x^8\). La función compuesta \(h(x) = (g \circ f)(x) = (4x^2 - 6x -5)^8\). Aplicando la regla de la cadena, \(h'(x)\) será \(g'(x)\) evaluada en la función \(f\) y luego multiplicada por \(f'(x)\). Se obtiene entonces: - \(g'(x) = 8x^7 \Rightarrow g'(f(x)) = 8(4x^2 - 6x - 5)^7\) - \(f'(x) = 8x - 6\)
\[\Rightarrow h'(x) = g'(f(x))f'(x) = 8(4x^2 - 6x - 5)^7(8x - 6).\]
Para obtener la derivada en el punto \(a\) se evalua en \(x = a\).
Tabla de derivadas
A continuación, se presenta una tabla con las derivadas típicas, para facilitar los cálculos. Es importante destacar que tanto \(u\) como \(v\) son funciones de \(x\), pero se denotan como \(u\) y \(v\) por simplicidad en la notación.
| Simples | Compuestas | ||
|---|---|---|---|
| Función | Derivada | Función | Derivada |
| \(k\) | \(0\) | ||
| \(x^n\) | \(nx^{n-1}\) | \(u^n\) | \(nuu'\) |
| \(\frac{1}{x}\) | \(\frac{-1}{x^2}\) | \(\frac{1}{u}\) | \(\frac{-u'}{u^2}\) |
| \(\sqrt[n]{x}\) | \(\frac{1}{{n-1}\sqrt[n]{x^{n-1}}}\) | \(\sqrt[n]{u}\) | \(\frac{u'}{{n-1}\sqrt[n]{u^{n-1}}}\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) | \(e^u\) | \(u'e^u\) |
| \(a^x\) | \(a^x lna\) | \(a^u\) | \(u'a^u lna\) |
| \(ln x\) | \(\frac{1}{x}\) | \(ln u\) | \(\frac{u'}{u}\) |
| \(log_a x\) | \(\frac{1}{x ln a}\) | \(log_ a u\) | \(\frac{u'}{u ln a}\) |
| \(sen(x)\) | \(cos(x)\) | \(sen(u)\) | \(u'cos(u)\) |
| \(cos(x)\) | \(-sen(x\)\()\) | \(cos(u)\) | \(-u'sen(u)\) |
| \(tan(x)\) | \(\frac{1}{cos^2(x)}\) | \(tan(u)\) | \(\frac{u'}{cos^2(u)}\) |
| \(u + v\) | \(u' + v'\) | ||
| \(u - v\) | \(u' - v'\) | ||
| \(u \cdot v\) | \(u'v + uv'\) | ||
| \(\frac{u}{v}\) | \(\frac{u'v - uv'}{v^2}\) |
Derivadas parciales
Para trabajar con derivadas de funciones definidas en intervalos de \(\mathbb{R}^n\) con \(n > 1\) es necesario definir la derivada parcial. La definición formal para funciones de \(\mathbb{R}^2\) dice que: Sea \(f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) y \((x_0, y_0)\) un punto de \(\mathbb{R}^2\). Se define la derivada parcial de \(f\) respecto a la variable \(x\) como el siguiente límite (si existe): \[\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_0+h, y_0)-f(x_0, y_0)}{h}.\]
La definición es análoga para la derivada parcial de \(f\) respecto a la variable \(y\). Se puede definir el límite para todas las variables que tenga la función en caso de ser una función en \(\mathbb{R}^n\).
A nivel práctico, para calcular la derivada parcial respecto a una variable, se consideran las otras como constantes, que se sabe de secciones previas que su derivada es cero. Se muestran a continuación un ejemplo en \(\mathbb{R}^3\):
Ejemplos:{-} Sea la función \(f(x,y,z) = x + xy + z\). Se calculan las derivadas parciales respecto a las tres variables: - \[\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z) = 1 + y\] donde la derivada de \(z\) es cero porque la consideramos constante y la derivada de \(xy\) es \(y\) por el mismo motivo. - \[\frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z) = x.\] - \[\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z) = 1.\]
Ejemplo de uso:{-} Se decide ahora complejizar el modelo del que depende el crecimiento de las vacas para acercarse más a la realidad. Se considerará, además la cantidad de alimento suministrado por día (que será una función de \(x\)), las condiciones ambientales, como temperatura y humedad (que serán una función de \(y\)).
Se tiene entonces que el crecimiento \(C\) depende de \(x\) e \(y\) de la siguiente forma: \[C(x,y) = e^{3x} + y^3\].
Esta ecuación nos dice que el crecimiento queda ligado a la cantidad de alimento mediante una función exponencial y a las condiciones ambientales por una función polinómica.
La tasa de crecimiento dependiendo de cada una de estas variables se calculará a partir de las derivadas parciales. Se podrá obtener la tasa de crecimiento asociado a la variación de la cantidad de alimento calculando \(\frac{\partial C}{\partial x} = 3x^2e^{3x}\) y la tasa asociada a las condiciones climáticas calculando \(\frac{\partial C}{\partial y} = 3y^2\). Para calcular cada una de las derivadas, se considera constante la variable que no es de interés.
INTEGRALES
El cálculo integral se utiliza fundamentalmente con dos fines: el primero consiste en la obtención de la función original a partir de su derivada (integral indefinida o primitiva) o bien obtener el área comprendida bajo una curva (integral definida).
Integral indefinida o Primitiva
Sea \(f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}\), se dice que \(F\) es una primitiva de \(f\) si \(F'(x) = f(x), \: a \leq x \leq b\). Si \(F_1\) y \(F_2\) son dos primitivas de \(f\), \(F_1 = F_2 + \mathbb{C}\). Esto implica que una función tiene infinitas primitivas que difieren únicamente por una constante.
Se define entonces la integral indefinida cómo: \[\int f(x) \: dx = F(x) + k.\]
De las definiciones anteriores se puede considerar a la integral como la operación inversa de la derivada o antiderivada. A continuación se presenta una tabla con las primitivas más comunes, donde se puede hacer la comparación con la tabla de derivadas previa para confirmar la idea de “antiderivada”.
| \(f(x)\) | \(F(x)\) |
|---|---|
| \(k\) | \(kx + \mathbb{C}\) |
| \(kx^n\) | \(\frac{kx^{n+1}}{n+1} + \mathbb{C}\) |
| \(kx^{-1}\) | \(kln|x| + \mathbb{C}\) |
| \(e^x\) | \(e^x + \mathbb{C}\) |
| \(a^x\) | \(\frac{a^x}{ln(a)} + \mathbb{C}\) |
| \(sen(x)\) | \(-cos(x) + \mathbb{C}\) |
| \(cos(x)\) | \(sen(x) + \mathbb{C}\) |
| \(tan(x)\) | \(-ln|cos(x)| + \mathbb{C}\) |
Integral definida
Cuando se quiere hallar el área algebraica que hay debajo de una curva se trabaja con la integral definida, que se expresa de la siguiente forma: \(\int_a^b f(x) \: dx\), donde \([a,b]\) es el intervalo de integración. Se define como área algebraica el número real positivo o negativo obtenido contando con un signo positivo las áreas por arriba del eje x, mientras que son negativas las áreas por debajo de este.
Para hallar el área debajo de la curva \(f\) se usa el método de Riemann que consiste en aproximar la región de la curva por regiones rectangulares más pequeñas. El área total se calcula sumando el área de cada uno de estos rectángulos. Se calcula el área por defecto (la altura del rectángulo está determinada por el mínimo entre \(f(a)\) y \(f(b)\)) y por exceso (la altura del rectángulo está determinada por el máximo entre \(f(a)\) y \(f(b)\)). Tomando particiones cada vez más angostas, las áreas por exceso y defecto se asemejan cada vez más al área real de la curva y se dice que una función es integrable si estas áreas coinciden. Finalmente, se puede definir el área de la función como el límite de la suma de las áreas de las aproximaciones con el ancho de los intervalos teniendo a cero.
Relación entre Primitiva e Integral definida
El segundo teorema fundamental del cálculo dice:
Sea \(f\) continua en un intervalo abierto \(I\), \(F\) una primitiva cualquiera y \(a, \: b\) dos puntos cualesquiera dentro de \(I\). Para todo \(a\) y \(b\), \(F(b) = F(a) + \int_a^{b} f(x) \: dx\).
Despejando la integral de la igualdad anterior, se puede calcular su valor como una simple substracción entre la primitiva evaluada en dos puntos de interés, por lo que el problema de integración pasa a ser cómo hallar la primitiva de la función objetivo.
Ejemplo:{-} La tasa de consumo de alimento de una vaca en un día está dada por una función \(f(t)\), donde \(t\) representa el tiempo en días. Queremos determinar la cantidad total de alimento consumido por todas las vacas en el rebaño durante un mes, que es equivalente a calcular el área bajo la curva de la función \(f(t)\) durante ese período de tiempo y luego multiplicarlo por la cantidad de vacas.
Para eso primero se calcula la primitiva de \(f(t)\), obteniendo la función \(F(t)\) para cualquier periodo de tiempo. Si consideramos un mes de treinta días, calculamos luego la integral definida en el intervalo \([0,30]\) para así obtener la función deseada. Para eso, utilizamos la expresión que vincula la integral definida con su primitiva, evaluando \(F(t)\) en \(t=0\) y \(t=30\).
Métodos de integración
A continuación se realiza una breve descripción de distintos métodos para calcular integrales.
Integración por sustitución
Sea \(g\) una función derivable y \(F\) una primitiva de \(f\). Si \(u = g(x)\) \(\Rightarrow \int f(g(x))g'(x) \: dx = \int f(u) \: du = F(u) + C = F(g(x)) + C\).
Esto implica que si la función a integrar es una función compuesta y está multiplicada por su derivada, se puede hacer un cambio de variable sencillo para simplificar el cálculo de la primitiva. Si se tiene una integral definida en el intervalo \((a,b)\) los extremos de integración pasan a ser \((g(a), g(b))\).
Ejemplo:
Se quiere calcular la integral: \[\int_{0}^{\sqrt{\pi}} 2xcos(x^2) \: dx.\]
Se observa que tomando \(g(x) = x^2\), que tiene como derivada \(3x^2\) podemos expresar la integral para aplicar el método de sustitución. Realizando el cambio de variable \(u = g(x)\), \(g'(x) dx = du\) y cambiando los límites de integración a \((0, \pi)\) (que resultan de calcular \(g(2)\) y \(g(4)\)), se obtiene: \[\int_0^{\pi} cos(u) \: du= sen(\pi) - sen(0) = 0.\]
Integración por partes
De la expresión de la derivada del producto, se puede deducir otra forma de calcular una integral que se denomina Integración por partes. Si se quiere calcular la integral de una función \(k(x)\), se buscaran dos funciones \(f\) y \(g\) tales que \(k\) se pueda expresar como el producto de \(f\) y \(g'\). La integral entonces de \(f \cdot g'\) se puede calcular a partir de la siguiente expresión: \[\int f(x) \cdot g'(x) \: dx = f(x)g(x) - \int f'(x) g(x) \: dx + \mathbb{C}.\]
En el caso de una integral definida, la expresión a calcular es: \[\int_a^b f(x) \cdot g'(x) \: dx = \left. f(x)g(x) \right|_a^b- \int_a^b f'(x) g(x) \: dx + \mathbb{C}\]
Ejemplo: Calcular la primitiva de \(\int xsen(x) \: dx\).
En primera instancia debe elegirse cual será la función \(f\) y cual será \(g'\). Es importante aclarar que la elección de estas funciones es a conveniencia del lector, considerando cual de las opciones tiene primitiva más simple de hallar. En este caso, es simple calcular la primitiva de cualquiera de las dos funciones, por lo que la elección es indistinta. Se elige \(f(x) = x\) y \(g'(x) = sen(x)\).
Se procede a calcular \(f'(x) = 1\) y \(g(x) = -cos(x)\) (se deduce de la tabla), para luego aplicar la función de integración por partes: \[\int xsen(x) \: dx = -xcos(x) - \int -cos(x) + \mathbb{C} = -xcos(x) + sen(x) + \mathbb{C}\]
donde en el último paso se calculó la integral del \(cos(x)\) a partir de la tabla de primitivas típicas.
ECUACIONES DIFERENCIALES
Una ecuación diferencial es una igualdad en la que la incógnita es una función desconocida \(y\) (derivable hasta orden \(k\)) y en la que aparece alguna de las derivadas de la función desconocida. El orden de la ecuación queda determinado por el orden de la máxima derivada que aparece. Por ejemplo, es de orden uno si la única derivada que aparece es la derivada primera, de orden dos si aparece la derivada segunda (independientemente de si está la derivada primera o no). Son ecuaciones utilizadas para modelar muchos problemas físicos del mundo real, por ejemplo, las oscilaciones de un péndulo.
Una ecuación diferencial ordinaria tiene como función incógnita una función que depende únicamente de una variable, por lo que \(y = f(x)\). Por otra parte, las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales tienen como función incógnita una función que depende de más de una variable, por ejemplo, \(y = f(x,y)\).
Ejemplos: A continuación, se muestran algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales que modelan problemas físicos. En cada caso se detalla si la ecuación es ordinaria o parcial y el orden.
| Problema | Ecuación | Tipo | Orden |
|---|---|---|---|
| Movimiento circular uniforme | \(\frac{d \theta (t)}{dt}\) \(= \omega\) | Ordinaria | 1 |
| Movimiento armónico simple | \(y''+k^2y=0\) | Ordinaria | 2 |
| Ecuación del calor en una barra infinita | \(\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{1}{2}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\) | Parcial | 2 |
| Ecuación de la cuerda | \(\frac{\partial^2 u}{\partial^2 t} = \frac{1}{2}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\) | Parcial | 2 |
Ejemplo de ecuación diferencial de primer orden con solución: {-}
Se tiene una población de vacas y se quiere modelar en crecimiento de la misma. Para eso, se utiliza el modelo Malthus desarrollado en 1798 que relaciona el crecimiento de la población con su mortalidad y natalidad, de acuerdo a la siguiente ecuación: \(\frac{dP(t)}{dt} = mP(t) - nP(t)\). \(P(t)\) es el número de invidividuos mientras que \(m\) y \(n\) la natalidad y mortalidad respectivamente. Reescribiendo y denominando \(m-n = r\), se obtiene \(\frac{dP(t)}{dt} = rP(t)\).
Para hallar la solución a la ecuación, se llevan a un lado todas los términos dependientes del tiempo, obteniendo así que \(\frac{dP(t)}{dt}\frac{1}{P(t)} = r\). Integrando a ambos lados de la ecuación, se llega a que \(ln(P(t)) + c = {rt}\) y aplicando la ecuación inversa al logaritmo a ambos lados de la ecuación se obtiene: \[P(t) = ce^{rt}\].
Ejemplo de ecuación diferencial de segundo orden con solución: {-}