Apéndice A: Conceptos matemáticos básicos
FRACCIONES
Una fracción, representada de la forma \(\frac{n}{m}\), es un cociente entre dos números enteros (n y m) que representa un valor numérico. Al número m se lo llama denominador e indica en cuántas partes iguales se divide una unidad. Por su parte n es el numerador e indica cuantas partes se deben tomar.
Fracciones equivalentes y fracciones irreducibles
Se dice que dos fracciones son equivalentes si representan el mismo número, por más que tengan distinto numerador y denominador. Para comprobar si dos fracciones son equivalentes se utiliza el método de productos cruzados. Se multiplica el numerador de una con el denominador de la otra y viceversa, y si ambos productos dan igual, las fracciones son equivalentes. Cada fracción posee infinitas fracciones equivalentes a ella y podemos obtener las mismas mediante dos métodos: amplificación y simplificación.
La amplificación consiste en la multiplicación de numerador y denominador por un mismo número mientras que la simplificación consiste en la división de los factores por un número que se podrá lograr únicamente si ambos son divisibles por el mismo. Si el número entre el que se divide es el máximo común denominador, se obtiene una fracción irreducible. Una fracción irreducible es aquella que no se puede simplificar y esto sucede cuando numerador y denominador son primos entre sí.
Operaciones con fracciones
Sean \(\frac{n}{m}\) y \(\frac{p}{q}\) dos fracciones. Se definen las siguientes operaciones entre ellas:
Suma:
\(\frac{n}{m} + \frac{p}{q} = \frac{nq + pm}{mq}\) donde m y q son dos números naturales distintos.
En caso de ser iguales, basta con sumar los numeradores y el denominador del resultado será el denominador de los sumandos. Se escribe de la forma \(\frac{n}{m} + \frac{p}{m} = \frac{n + p}{m}\).
Ejemplo:
Un campo tiene un total de 3500 ha y se encuentra dividido en diversas fracciones. Como superficie cultivable se cuenta con dos fracciones que poseen \(\frac{1}{7}\) y \(\frac{3}{17}\) del total del campo. ¿Cuál es la superficie cultivable?
La fracción de la superficie total que es cultivable es la suma de las dos fracciones, es decir \(\frac{1}{7}+\frac{3}{17}=\frac{1.17+3.7}{7.17}=\frac{38}{119}\). Como la superficie total es de 3500 ha, entonces dicha superficie será \(3500.\frac{38}{119}=\frac{3500.38}{119} \approx 1117,6\) ha.
Resta:
Al igual que la suma, se definen dos casos diferenciando si las fracciones tienen igual denominador o distinto. Si m y q son distintos, se define la resta como \(\frac{n}{m} - \frac{p}{q} = \frac{nq - pm}{mq}\) mientras que si son iguales el resultado de la resta es \(\frac{n - p}{m}\).
Ejemplo:
Las reservas forrajeras del establecimiento son de 1200 fardos, que asumimos vamos a utilizar durante tres meses en igual proporción. Sin embargo, por razones ajenas a nuestra voluntad, antes de entrar en el último de los meses debimos vender la cuarta parte del total de nuestras reservas. ¿Con cuánto forraje me quedé para el último mes?
Al último mes le correspondería un tercio de la reservas originales, pero debimos vender un cuarto antes, por lo que me queda para este último mes:
\(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1.4-1.3}{3.4}=\frac{4-3}{12}=\frac{1}{12}\)
Como el total eran 1200 fardos, tenemos que \(1200 \frac{1}{12}=\frac{1200}{12}=100\) fardos.
Multiplicación:
\(\frac{n}{m} . \frac{p}{q} = \frac{np}{mq}\)
Ejemplo:
Las reservas forrajeras del establecimiento son de 1200 fardos, que asumimos vamos a utilizar durante tres meses en igual proporción, pero que debemos distribuirlas en forma equitativa entre dos rodeos de cría separados que posee el establecimiento. ¿Cuánto forraje recibe cada rodeo mensualmente?
La fracción mensual que recibe cada rodeo sería la mitad de un tercio del total, es decir \(\frac{1}{3}\frac{1}{2}=\frac{1.1}{3.2}=\frac{1}{6}\). Como el total de las reservas era de 1200 fardos, entonces cada rodeo recibirá mensualmente \(1200 \frac{1}{6}=\frac{1200}{6}=200\) fardos.
División:
La división de fracciones consiste en la multiplicación de la fracción que corresponde al dividendo por el inverso a la que corresponde al divisor; o lo que es lo mismo, es la multiplicación cruzada de numerador y denominador. Se expresa de la siguiente manera: \(\frac{\frac{n}{m}}{\frac{p}{q}} = \frac{nq}{mp}\).
Común denominador
Transformar varias fracciones a común denominador consiste en convertir cada una de ellas en otra fracción equivalente, pero buscando que todas tengan el mismo denominador. A continuación, se presentan dos métodos para hallar el común denominador:
a) Multiplicar los denominadores entre sí:
Para aplicar este método lo primero que se hará es multiplicar entre sí los denominadores de las fracciones que queremos convertir. A continuación, será necesario modificar los numeradores para no modificar el valor de la fracción; para ello, se divide el denominador común encontrado entre cada uno de los denominadores de cada fracción inicial. Por último, el resultado de cada una de esas divisiones se multiplica por el numerador de cada fracción inicial.
Este método a pesar de ser práctico puede resultar en trabajar con números bastante grandes lo que puede complicar futuros cálculos.
Ejemplo:
Sumar las fracciones \(\frac{3}{12}\) y \(\frac{4}{18}\). El producto de los denominadores es \(12.18=216\). Para mantener las fracciones originales expresadas en este denominador, hacemos para la primera \(216/12=18\) que sería el número por el que también hay que multiplicar el numerador si el nuevo denominador va a ser 216, es decir \(3.18=54\) y por lo tanto la primera fracción quedará expresada como \(\frac{54}{216}\).
Para la segunda tenemos que \(216/18=12\) y por lo tanto el numerador será \(4.12=48\) y la fracción quedará expresada como \(\frac{48}{216}\). Ahora podemos sumar directamente las fracciones porque tienen el mismo denominador y por lo tanto \(\frac{3}{12}+\frac{4}{18}=\frac{54}{216}+\frac{48}{216}=\frac{102}{216}\).
b) Mínimo común múltiplo (mcm)
Para aplicar este método lo primero que se debe hacer es descomponer cada denominador en factores primos.
A continuación, será necesario multiplicar todas las potencias producto de la descomposición, pero en caso de existir bases repetidas únicamente se utilizará la de mayor exponente.
Para modificar los numeradores se aplica el mismo proceso que en el método anterior.
El mcm tiende a ser un método más laborioso que el primero, sin embargo, nos permite operar con valores más pequeños.
Ejemplo:
Como en el ejemplo anterior, sumar las fracciones \(\frac{3}{12}\) y \(\frac{4}{18}\). \(12=2.2.3=2^2.3\), mientras que \(18=2.3.3=2.3^2\). O sea, tenemos los números primos 2 y 3 constituyendo ambos denominadores. La mayor potencia de ambos es 2, por lo que el mcm será \(2^2.3^2=36\). Claramente \(36=12.3\), mientras que \(36=18.2\). Ahora, tenemos que \(\frac{3}{12}\equiv\frac{3}{3}\frac{3}{12}=\frac{9}{36}\), mientras que \(\frac{4}{18}\equiv\frac{2}{2}\frac{4}{18}=\frac{8}{36}\). Sumando directamente (porque los denominadores son iguales), tenemos \(\frac{9}{36}+\frac{8}{36}=\frac{17}{36}\).
Como verificación de que por ambos métodos llegamos a fracciones equivalentes, podemos notar que en \(\frac{102}{216}\) tanto numerador como denominador son divisibles entre 6 (porque ambos son pares y además en ambos la suma de dígitos es divisible entre 3), por lo que \(102/6=17\) y \(216/6=36\) y por lo tanto \(\frac{102}{216}\equiv\frac{17}{36}\), que es lo mismo que obtuvimos por el método del mcm.
Saber aplicar todas las transformaciones detalladas en esta sección será fundamental al momento de operar con fracciones.
Operaciones combinadas con fracciones
Al momento de realizar operaciones combinadas, las prioridades a seguir son las mismas que cuando se calculan utilizando números enteros, así pues:
Calcular potencias y raíces
Realizar las operaciones entre paréntesis o llaves
Calcular los productos y cocientes
Calcular sumas y restas
PROPORCIONALIDAD
Dos magnitudes mantienen una proporcionalidad directa si cuando una aumenta la otra también lo hace a igual relación ocurriendo lo mismo si se reduce una de ellas. A modo de ejemplo, si una se divide a la mitad, la otra también. Se dice que dos magnitudes \(x\) e y mantienen una proporcionalidad directa si hay una constante a, llamada constante de proporcionalidad tal que \(y = ax\).
Regla de tres
La regla de tres es un método utilizado para resolver problemas de proporcionalidad. Se utiliza para hallar el cuarto término de una proporción. Se basará la explicación del método con un ejemplo.
Ejemplo:
Sabiendo que una guitarra tiene 6 cuerdas, determinar cuántas cuerdas necesito si quiero cambiar completamente el encordado de 17 guitarras.
Solución Para resolver este problema, se debe plantear la regla de tres simple. Para eso, se disponen los datos en forma de tabla, teniendo en cuenta que en una misma columna se deben disponer datos de un mismo tipo (en el ejemplo, una columna lleva los datos de las guitarras y la otra las cuerdas). El valor a hallar se representará con una \(x\) que simboliza la incógnita.
| Guitarras | Cuerdas |
|---|---|
| 1 | 6 |
| 17 | \(x\) |
Para hallar el valor de \(x\), se realiza la siguiente operación: \(x = \frac{17 . 6}{1} = 102\)
Generalizando entonces, la regla de tres se plantea de la siguiente forma:
| \(a_1\) | \(b_1\) |
| \(a_2\) | \(x\) |
\(\Rightarrow x=\frac{a_2 b_1}{a_1}\)
donde \(a_1\) y \(a_2\) son del mismo tipo y las magnitudes a y b son directamente proporcionales.
CIFRAS SIGNIFICATIVAS Y REDONDEO
Las cifras significativas son los números que se obtienen al realizar una medición. Se encuentran limitados por el instrumento de medición. Las cifras significativas ciertas son las que se pueden observar directamente del instrumento de medición, mientras que las dudosas son las que se estiman. Una medida no puede tener más de una cifra significativa dudosa.
Por ejemplo, si se tiene una balanza con aguja cuyas divisiones son de un kilogramo y la aguja marca entre los 75 y 76 kg, la medida deberá ser expresada con un solo decimal (75,5 kg a modo de ejemplo).
Los ceros a la izquierda del valor no serán considerados como cifras significativas.
Para reducir la cantidad de cifras utilizadas para expresar una medida y que quede con el número correcto de cifras significativas se debe redondear, siguiendo las siguientes reglas: 1) Si el número a eliminar es menor a 5, la cifra a su izquierda no se modifica. 2) Si el número a eliminar es mayor o igual a 5, la cifra a su izquierda incrementa en uno.
Ejemplo:
Se tiene el número 3,4581 para redondearlo a distinta cantidad de cifras significativas como se muestra en la siguiente tabla:
| Num. Cifras significativas | Resultado | Regla utilizada |
|---|---|---|
| 1 | 3 | Regla 1 |
| 2 | 3,5 | Regla 2 |
| 3 | 3,46 | Regla 2 |
| 4 | 3,458 | Regla 1 |
Operaciones con cifras significativas
Al operar con resultados de mediciones, es importante tener en cuenta las cifras significativas dado que los resultados no pueden tener mayor precisión que las medidas originales. Dependiendo de la operación a realizar, se siguen distintas reglas.
Suma y Resta
Para el caso de la suma y la resta, lo primero que se debe hacer es redondear todas las medidas involucradas en la operación hasta que tengan igual cantidad de decimales que aquel número con menos decimales. Luego se realiza la operación buscando mantener la misma cantidad de decimales que los números a sumar (o restar).
Ejemplo:
Se quiere sumar las siguientes masas: 21,34 kg, 5,3 kg y 9,37 kg. Primero se redondeará todas las medidas para que queden expresadas con un decimal.
| Medida | Redondeo | Regla utilizada |
|---|---|---|
| 21,34 kg | 21,3 kg | Regla 1 |
| 5,3 kg | 5,3 kg | No se redondea |
| 9,37 kg | 9,4 kg | Regla 2 |
Hechos todos los redondeos pertinentes, se procede a sumar: \[\begin{equation} 21,3 kg + 5,3 kg + 9,4 kg = 36,0 kg. \end{equation}\]
Producto y División
Para el producto y la división, se realiza primero la operación para luego redondear el resultado hasta que tenga la misma cantidad de cifras significativas que las medidas utilizadas.
Ejemplo:
Se quiere calcular la fuerza sobre un elento de masa 9,1 kg que tiene una asceleración de 3,12 \(m/s^2\). Primero se realiza la operación: \[ 3,12 \: m/s^2 \: \cdot \: 9,1 kg = 28,392 \: N. \]
Luego se debe redondear el resultado hasta obtener la misma cantidad de cifras significativas que el operando con menos cifras significativas. En este caso, es 9,1 que tiene dos, por lo que el resultado se expresa: 28 N (utilizando la regla 1 de redondeo).
NOTACIÓN CIENTÍFICA
La notación científica se utiliza para expresar medidas en potencias de base 10, con especial utilidad para expresar medidas muy grandes o muy chicas. El formato para expresar un número en notación científica es el siguiente: \[A x 10^{n}\] donde A es un número entre 1 y \(n\) indica la cantidad de veces que se debe correr la coma decimal de un número para obtener el valor de A. Si \(n\) es positivo, el resultado es un número mayor a 1 (por ejemplo, con \(n=3\) se deben agregar 3 ceros a A). En cambio, si \(n\) es negativo, el resultado es un número menor a 1, corriendo la coma \(n\) lugares a la izquierda.
ECUACIONES
Las ecuaciones son expresiones que se utilizan para modelar diversas situaciones y problemas. Se definen como una igualdad entre dos expresiones conteniendo uno (ecuación de una variable) o más (ecuación en varias variables) valores desconocidos. A los valores desconocidos se los denomina incógnitas y suele representarse con la letra \(x\).
Se le llama solución de la ecuación a todo número que haga que se cumpla la igualdad. Puede existir una única solución, múltiples soluciones o ninguna. Cuando una ecuación es utilizada para modelar un escenario concreto y tiene más de una solución, deberán elegirse las soluciones que tengan sentido en el contexto del problema (descargando el resto).
Se dice que dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución. La clave para resolver una ecuación es reducirla hasta la ecuación equivalente más simple utilizando la propiedad uniforme. Esta establece que “si se realiza la misma operación con el mismo número a los dos lados de la igualdad, se mantiene la igualdad”. Coloquialmente, esto implica que se pueden “pasar” números de un lado a otro de la ecuación realizando la operación opuesta (si está sumando de un lado, al otro pasa restando). Se utiliza la propiedad hasta tener “despejada” la incógnita, que implica que las incógnitas quedan de un lado de la ecuación.
Ecuaciones polinómicas
Una ecuación es de grado n si es de la forma \(ax^{n} + bx^{n-1} + ... + cx + d = 0\) con \(a \neq 0\). Este polinomio, de tener solución, tendrá como máximo n soluciones. En particular, a continuación se explica como hallar las soluciones de una ecuación cuadrática (ecuación de segundo grado, \(n = 2\)) que es de la siguiente forma \[ax^{2} + bx + c = 0.\]
Existen tres escenarios posibles: 1) \(b\) es igual a cero. La ecuación es de la forma \(ax^{2} + c = 0\) y se resuelve como si fuera una ecuación con una sola incógnita recordando que la operación opuesta a la potencia es la raíz. En ese caso, \(x = \pm \sqrt{\frac{-c}{a}}\). Es importante notar que si \(\frac{-c}{a}\) es un número menor a cero, la ecuación no tiene solución. 2) \(c\) es igual a cero. La ecuación es de la forma \(ax^{2} + bx = 0\). Se saca x de factor común, por lo que \(x = 0\) es una de las soluciones del problema. la otra se halla con el método explicado anteriormente, llegando a qué \(x = \frac{-b}{a}\). 3) Todos los coeficientes son no nulos. La ecuación es de la forma \(ax^{2} + bx + c = 0\). Las dos raíces, si existen, se hallan aplicando la fórmula de Bhaskara. Esta fórmula dice lo siguiente: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. \] Si el término \(b^2 - 4ac\) es mayor a cero se puede afirmar que existen soluciones a la ecuación de segundo grado. Si es igual a cero, se tiene una única solución (a la que se le llama solución doble). Si es menor a cero, no existen soluciones.
Ejemplos:
Se tiene un campo de 35 has distribuidas en 700 mts x 500 mts. Se quiere comprar \(x\) mts de largo y \(x\) mts de ancho suficientes para extender el terreno a aproximadamente 50 has. ¿Cuánto debe valer \(x\)?
Las nuevas medidas del campo serán: \((700+x)(500+x)=50 has = 500000 mts^2\). Primero se calcula el producto de los binomios, donde se obtiene \(350e^3 + 1200 x + x^2 = 500e^3\). Operando, se llega a la siguiente ecuación \(-150e^3 + 1200 x + x^2 = 0\), a la que al ser una ecuación de segundo grado con todos sus coeficientes no nulos, se le aplicará la fórmula de Bhaskara para hallar la solución.
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} =\] \[\frac{-1200 \pm \sqrt{1200^2 - 4(1)(-150e^3)}}{2(1)}=\] \[\frac{-1200 \pm \sqrt{20400000}}{2}\]
De ahí salen dos soluciones, \(x_1 = \frac{-1200 + \sqrt{20400000}}{2} = 114 mts\) y \(x_2 = \frac{-1200 - \sqrt{20400000}}{2} = -1314\). La solución \(x_2\) es un número negativo que será descartado debido a que las medidas siempre son números mayores a cero. Por lo tanto, serán necesarios agregar 114 mts de largo y 114 mts de ancho para obtener un campo de aproximadamente 50 has. Para saber la superficie final obtenida, basta con susituir \(x_1\) en la ecuación inicial:
\[ \text{Superficie} = (700 + 114)(500 + 114) = 49,98 has. \]
FUNCIONES
Una función es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto A un elemento de un conjunto B. Se escribe
\[ \begin{split} f: A \rightarrow B \\ x \rightarrow f(x) \end{split} \]
donde lo anterior se lee “\(f\) es una función de \(A\) a \(B\)” donde a cada valor de \(x \in A\) se le asigna un valor de \(B\) representado por \(f(x)\) (que se lee “\(f\) de \(x\)”). Al conjunto \(A\) se lo denomina dominio o conjunto de partida mientras que a \(B\) se le llama codominio o conjunto de llegada. Se dice que una cantidad \(y\) es una función de otra cantidad \(x\) si el valor de la primera depende del valor que tome la segunda y se escribe \(y=f(x)\).
Para definir una función, hay dos condiciones que deben cumplirse: existencia y unicidad. Para cada valor \(x\) en el dominio debe existir un único valor \(f(x)\) en el codominio que sea imagen de \(x\).
Existen tres formas de representar las funciones: con una ecuación, una tabla o una gráfica. La más utilizada y con la que se trabajará en este libro principalmente es con la ecuación, ya que a partir de ella se puede llegar a las otras dos.
Ceros de una función
Hallar los ceros (también llamados raíces) de una función significa tomar la ecuación que la define e igualarla a cero para hallar aquellas \(x\) para las cuales la función vale cero. Matemáticamente, se definen como aquellos \(x\) tal que \(f(x) = 0\). Es importante tener en cuenta que no siempre es sencillo (o posible) hallar las raíces de manera analítica, sino que puede ser necesario utilizar métodos numéricos para los cálculos.
El caso más sencillo es el de funciones polinómicas de primer y segundo orden. En esos casos, hallar los ceros implica hallar directamente las raíces del polinomio.
Tipos de funciones:
Función polinómica
Una función polinómica de grado \(n\) (dónde \(n\in N \cup \{0\}\)) es una función definida por una ecuación polinómica, tal que \[f(x) = a_nx^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_{1}x + a_{0}\]
donde \(a_n, \: a_{n-1},..., \: a_1, \: a_0 \in R\) y se denominan coeficientes de la función polinómica. Una función polinómica tendrá como dominio a todo R.
- Polinomios de primer grado
Un polinomio de primer grado es una función de forma \(f(x)=ax + b\) (también denominado función lineal) donde su representación gráfica será siempre una recta. Al parámetro \(a\) se lo denomina pendiente de la recta y marca su verticalidad. Si \(a=0\) la representación de la función es una recta horizontal que pasa por el punto \(b\), mientras que si \(a\) es un número muy grande, la recta es vertical (establece un ángulo de 90° respecto al eje horizontal). Al parámetro \(b\) se lo denomina intercepto y establece a qué altura del eje vertical cortará la recta. Si \(b=0\) la recta pasará por el origen. Si es mayor, la recta pasará por encima del origen mientras que si es menor, pasará por debajo.
Las funciones lineales tienen una única raíz, ya que el polinomio tiene tantas raíces como el orden del mismo.
En la figura se muestran tres ejemplos de funciones lineales, donde se puede observar las diferencias que resultan de establecer distintos valores para \(a\) y \(b\). Para la función \(y=x\) e \(y=2x\) el cero de se da en \(x=0\). Para \(y=2x+4\) el cero se encuentra en \(x=-4\).
- Polinomios de segundo grado
Un polinomio de segundo grado es una función de forma \(f(x)=ax^2+bx+c\) donde \(a \neq 0\).
Su representación gráfica será siempre una parábola cuyo vértice estará por debajo de la parábola si \(a>0\) mientras que para \(a<0\) se encontrará por encima de la misma. El vértice se sitúa en el punto \(x = −\frac{b}{2a}\). En la figura se muestran tres ejemplos de parábolas, donde se puede ver qué ocurre con el vértice cuando \(a\) toma valores positivos o negativos. También se muestra el efecto que tiene tener distintos valores de \(b\) y \(c\). En este caso, se puede ver que cada función tiene dos raíces.
Las funciones polinómicas de segundo orden tienen dos posibles \(x\) para cada \(f(x)\). Es importante destacar que esto no se contrapone con la unicidad descrita previamente, que dice que para un valor \(x\) solo puede existir un solo \(f(x)\). Para resolución de problemas de la vida real, es importante tener en cuenta que existen dos puntos \(x\) preimagen de \(f(x)\) ya que dependiendo del campo de aplicación puede ser necesario elegir uno de ellos.
En el ejemplo utilizado para ecuaciones polinómicas, el valor \(x\) negativo fue descartado ya que una medida de tierra siempre será positiva. Este tipo de análisis suelen ser muy frecuentes al momento de trabajar con funciones.
Función racional
Una función racional es una función del tipo \(h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}\).
en donde \(f\) y \(g\) son funciones polinómicas. Podemos definir entonces la función racional como el cociente de dos funciones polinómicas. El dominio de este tipo de funciones será R exceptuando los valores en los que \(g(x)\) es nula.
Función exponencial
Una función exponencial es de la forma \(f(x)=a^{bx}\), donde \(a\neq 1\) (dado que \(1^x=1\)) y \(a>0\). La variable de la función aparece en el exponente. Tiene gran importancia para el modelado de distintos fenómenos, desde económicos hasta fenómenos de la naturaleza (como el crecimiento de una colonia de bacterias).
Estas funciones presentan un crecimiento más rápido en comparación con el de las funciones lineales a medida que \(x\) crece, denominándose crecimiento exponencial. Además, toman siempre valores positivos para cualquier \(x\).
En la figura se observan tres curvas exponenciales. Hacía la izquierda (cuánto más negativo el eje \(x\)) la curva se acerca más a cero. Toma valores más grandes cuánto más grande es \(x\). Además, más grandes son los valores adoptados por la función cuánto mayor es \(b\). En todos los casos, para \(x=0\) el valor de la función es \(1\). Estas funciones no tienen ceros, se acercan cuando mayor es el valor absoluto de los \(x<0\) pero nunca llegan a igualarlo.
Función logarítmica
La función logarítmica es aquella en la que la variable aparece en el argumento del logaritmo, por lo que son de la forma \(f(x) = log_a x\) con la base \(a\neq 1\) y \(a>0\). Teniendo en cuenta que el logaritmo solo existe para números positivos, el dominio de la función deberá pertenecer al conjunto de \(R^+\).
En la figura se muestran tres funciones logarítmicas. Se observa que están definidas únicamente para \(x > 0\).
SUMATORIA Y PRODUCTORIA
Se define la sumatoria como un operador matemático utilizado para expresar la suma de una gran cantidad de números que sigue una ley general de formación. Se representa con la letra griega \(\sum\). Formalmente, se define como: \[\sum_{i=m}^n f(i) = f(m) + f(m+1) + ... + f(n)\]
donde \(f\) es una función, \(i\) es el índice de la sumatoria, \(m\) su límite inferior y \(n\) el límite superior. Esto significa que el índice tomará valores entre desde \(m\) hasta \(n\) y se sumarán todos los valores que toma la función al evaluar el índice.
Ejemplos:
- \[\sum_{i = 2}^5 i = 2 + 3 + 4 + 5 = 14\]
- \[\sum_{i = 2}^5 i^2 = 4 + 9 + 16 + 25 = 54\]
- \[\sum_{i = 1}^4 2(i+8) = 18 + 20 + 22 + 24 = 84\]
- \[\sum_{i = 0}^7 2^i = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 = 255\]
La productoria es el análogo a la sumatoria pero para representar el producto de una gran cantidad de números que siguen una ley general de formación. En este caso, se utiliza la letra griega \(\prod\) para su representación.