Capítulo 2 Variación y equilibrio de Hardy-Weinberg
2.1 El equilibrio de Hardy-Weinberg
Hardy-Weinberg en un locus con dos alelos, especie hermafrodita diploide
En el equilibrio, las frecuencias de los genotipos \(A_1A_1\), \(A_1A_2\) y \(A_2A_2\) serán \(p^2\), \(2pq\) y \(q^2\).
Las frecuencias de los alelos (\(p\) y \(q\)) no cambian luego de una generación de apareamiento y por lo tanto, como este razonamiento se puede extender a la próxima generación también, no cambiará nunca (mientras no intervengan otras fuerzas evolutivas como la selección o la deriva y el apareamiento sea al azar).
Las frecuencias de los genotipos quedan completamente determinadas por la frecuencia de los alelos en la generación previa (porque son las frecuencias de los gametos, haploides) y en el caso particular de nuestro modelo de un locus con dos alelos, todo queda determinado por la frecuencia de uno de los dos alelos (\(p\), por ejemplo).
Además, en el caso particular de nuestro modelo, población hermafrodita, el equilibrio definitivo de las frecuencias de los genotipos se alcanza en una sola generación de apareamientos.
Supuestos que asumimos se cumplen para H-W
Todos los genotipos poseen el mismo “fitness” (es decir, ningún genotipo posee una ventaja respecto al número de descendientes que deja)
La población debe estar formada por un número infinitamente grande de individuos
El apareamiento al azar debe producirse en toda la población
No debe existir migración que altere las frecuencias
Debe existir un equilibrio mutacional (es decir, las frecuencias de los alelos no varían pese a existir mutaciones).
2.2 El equilibrio de Hardy-Weinberg en cromosomas ligados al sexo
El equilibrio de Hardy-Weinberg en cromosomas ligados al sexo, asumiendo que el macho es el sexo heterogamético (al revés si la hembra lo es):
La frecuencia del alelo \(\bf{A_1}\) en machos, \(p_M\) de la generación \(t\) es igual a \(p_H\) en la generación \(t-1\).
La frecuencia del alelo \(\bf{A_1}\) en hembras, \(p_H\) de la generación \(t\) es igual a \(\frac{p_H+p_M}{2}\) en la generación \(t-1\).
Este proceso converge relativamente rápido al valor \(p=\frac{(2p_H+p_M)}{3}\), que es la frecuencia inicial de alelos \(p\) en el pool de gametos.
2.3 Tres o más alelos
- Para 3 alelos el equilibrio de Hardy-Weinberg es la expansión del cuadrado del trinomio, es decir para los alelos \(\bf{A_1}\), \(\bf{A_2}\), \(\bf{A_3}\), con frecuencias respectivas \(p\), \(q\) y \(r\), \(p+q+r=1\),
\[\begin{equation} (p+q+r)^2=p^2+q^2+r^2+2pq+2pr+2qr \end{equation}\]
los 3 primeros términos de la derecha correspondientes a los homocigotos \(\bf{A_1A_1}\), \(\bf{A_2A_2}\), \(\bf{A_3A_3}\) y el resto a los heterocigotos \(\bf{A_1A_2}\), \(\bf{A_1A_3}\) y \(\bf{A_2A_3}\).
- La ecuación anterior es generalizable a un número \(k\) de alelos, \(\bf{A_1}, \bf{A_2}, ..., \bf{A_k}\) de acuerdo a
\[\begin{equation} (p_1+p_2+p_3...+p_k)^2 \end{equation}\]
- Bajo equilibrio de Hardy-Weinberg, la proporción esperada de homocigotas será
\[\begin{equation} G=\sum_{i=1}^{k} p_{i}^2, \end{equation}\]
por lo que la heterocigosis del locus quedará como lo que falta para completar la totalidad, o sea:
\[\begin{equation} H=1-G=1-\sum_{i=1}^{k} p_{i}^2 \end{equation}\]
2.4 ¿Dónde se “esconden” los alelos recesivos?
- La relación entre los heterocigotas y los homocigotas con el alelo recesivo (que sin pérdida de generalidad supondremos es el \(A_2\), con frecuencia \(q\)) cuando nos acercamos a la eliminación del alelo \(A_2\) y por lo tanto la frecuencia del \(A_1\) se aproxima a 1 será:
\[\begin{equation} \frac{2pq}{q^2}=\frac{2p}{q}=\frac{2(1-q)}{q}\approx \frac{2}{q} \therefore \lim_{q \to 0} \frac{2pq}{q^2}=+\infty \end{equation}\]
- Es decir, a medida que \(q\) tiende a cero, la relación tenderá a infinito, o dicho de otra forma, casi todos los alelos recesivos estarán en los individuos heterocigotas, los que son fenotípicamente imposibles de distinguir de los homocigotas con el alelo favorable.
2.5 Hardy-Weinberg en especies poliploides
Al estimar frecuencias en un sistema de un locus con dos alelos:
- Si suponemos que los individuos representan un muestreo al azar de los gametos en la población y que los individuos de la muestra fueron seleccionados al azar, entonces la probabilidad de observar un conteo \(x\) en particular, dado el número total de alelos genotipados \(n\), se puede describir por la distribución binomial: \(f(x)={n\choose x} p^x (1-p)^{n-x}\) con las combinaciones de \(n\) elementos tomados de a \(x\) elementos iguales \({n\choose x}=\frac{n!}{x!(n-x)!}\)
Hardy-Weinberg en especies poliploides:
Por ejemplo, en el caso del tetraploides hay 4 multiplicaciones de las frecuencias de los alelos A y a, por lo que ahora, la distribución de las frecuencias de los distintos genotipos será \((p+q)^4\).
Esto es generalizable a otras ploidias, al menos a las pares de acuerdo a \((f_{\bf{A}}+f_{\bf{a}})*...*(f_{\bf{A}}+f_{\bf{a}})=(p+q)*...*(p+q)=(p+q)^n\)
2.6 La estimación de frecuencias en el locus ABO
- Los métodos elaborados para la estimación de las frecuencias hacen uso del concepto de máxima verosimilitud, pero Yasuda (1984) propuso un método sencillo basado en conteo. Supongamos que \(T=A+B+AB+O\), es decir el total de individuos de los distintos fenotipos, el estimador basado en conteo es:
\[\begin{equation} \hat{p}=\frac{[(1/2)AB+A+O-\sqrt{O(A+O)}]}{T} \end{equation}\]
Analogamente, por simetría, para la estimación de \(q\) tenemos
\[\begin{equation} \hat{q}=\frac{[(1/2)AB+B+O-\sqrt{O(B+O)}]}{T} \end{equation}\]
y por lo tanto,
\[\begin{equation} \hat{r}=1-\hat{p}-\hat{q} \end{equation}\]
- El número esperado de cada fenotipo es:
\[\begin{equation*} E(A)=(p^2+2pr)T\\ E(B)=(q^2+2qr)T\\ E(AB)=2pqT\\ E(O)=r^2T \end{equation*}\]